1. Модельдеудегі сақталу заңдары

1.1 Массаның сақталу заңы. Үзіліссіздік теңдеуі

1.2 Қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема. Қозғалыс теңдеуі. Тепе-теңдік теңдеуі. Қозғалыс мөлшерінің моментінің өзгеруі туралы теорема

7.1-суретте t уақытындағы тұтас ортаның V көлемінің қозғалысы өрнектелген. Оған таралу тығыздығы бар массалық күштер әсер етеді.

Қарастырылып отырған көлеммен шектелген, беттің шексіз аз элементіне кернеу векторы әсер етеді. Бос емес ортаның барлық облысында жылдамдық өрісі анықталған.

1.1 – сурет.

Көлемді толтыратын массалар жүйесінің барлық қозғалыс саны келесі интегралмен анықталады:

. (3.11)

Ньютонның екінші заңына сүйенсек, онда қозғалыс санының өзгеруі туралы теорема былай дейді: континуумның бірқатар бөлігінің қозғалыс санының уақыт бойынша өзгеру жылдамдығы, қарастырылып отырған облысқа әсер ететін қорытынды күшке тең:

немесе (3.12)

Бірінші интегралға алмастыруын қолданғаннан кейін және бет бойынша интегралды көлем бойынша интегралға (Гаусс-Остроградский теоремасы бойынша) алмастырғаннан кейін бұл теңдеу келесі түрге келеді:

немесе (3.13)

(3.13) өрнегінің оң жағының материалдық туындысын ашып жазайық:

(3.14)

(3.14)-ті (3.13)-ке қойып, ұқсас мүшелерді біріктірсек, онда қозғалыс санының өзгеруі туралы теореманың интегралдық формасын аламыз:

немесе . (3.15)

V–көлемі кез-келген болғандықтан (3.15) теңдік орындалу үшін интеграл астындағы өрнек нөлге айналуы тиіс. Яғни

немесе . (3.16)

Соңғы теңдеу қозғалыс теңдеуі деп аталады.

Тепе-теңдік жағдайында, яғни үдеу болмаған кезде (3.16) теңдеуден тепе-теңдік теңдеуі шығады:

немесе . (3.17)

Тұтас ортадағы қозғалыс мөлшерінің моменті, қандай да бір нүктеге байланысты қозғалыс мөлшерінің векторының моментіне тең болады. 7.1 – суретте көрсетілген континуумның бөлігі үшін, коодината басына қатысты қозғалыс санының толық моменті анықтама бойынша келесі интегралға тең:

немесе , (3.18)

мұндағы – көлем элементінің радиус-векторы.

Қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема былай дейді: кез-келген нүктеге қатысты, континуумның еркімізше таңдап алған қозғалыс мөлшері моментінің өзгеру жылдамдығы, ортаның қарастырылып отырған облысына әсер ететін массалық және беттік күштердің бас моментіне (сол нүктеге қатысты) тең. Интегралдық формада келесі түрде жазылады:

немесе (3.19)

(3.19) теңдеуі бөлікшелердің өзара әрекет ету күштері шамасы жағынан тең, бағыты бойынша коллинеар және қарама-қарсы болатын, ал таралған моменттері жоқ орта үшін орындалады. Қозғалыс мөлшнрінің момент теңдеуі әрқашан жаңа дифференциалдық теңдеуді бермеуі мүмкін. Егер (3.19) теңдеуге – ны қойсақ және кернеу тензоры симметриялы деп жорамалдасақ, онда (3.16) теңдеу орындалған жағдайда теңдеу тепе-тең қанағаттандырылады. Егер кернеу тензорының симметриялығы алдын - ала жорамалданбаса, онда ол ( алмастыруынан кейін келесі түрге келетін) (3.19) теңдеуінің салдары болып шығады:

немесе . (3.20)

V көлемі кез-келген болғандықтан (3.20) – дан келесі теңдік шығады:

немесе . (3.21)

Осыдан екені шығады.